Matemàtica audiovisual (1)

La setmana passada van lliurar-se els premis del concurs VideoMAT en el que vaig tenir ocasió de participar com a membre del jurat. El llistat de premiats resultant de tres fases de votació posa de relleu la vigència del lema del projecte: matemàtiques per respondre preguntes. Deia Paul Auster que l'essencial per a escriure un bon llibre és tenir una bona història per a explicar. Al VideoMAT les preguntes són molt bones i és el rigor en el desenvolupament és el que dóna les opcions al premi.

A l'acte d'entrega dels guardons es va projectar aquest vídeo de René Jodoin per a la National Film Board de Canadà: Notes on a triangle (1966).


Jodoin va col·laborar estretament amb Norman McLaren, un dels pioners de l'animació experimental i realitzador de peces tan aritmètiques com Rythmetic (1956).




La sèrie Lignes verticales (1960) - Lignes Horizontales (1962), també de McLaren i Evelyn Lambart aconsegueix crear veritable poesia visual des de la més senzilla abstracció geomètrica.





Els curtmetratges anteriors, naturalment, van ser realitzats amb animació tradicional. Els ordinadors encara no podien generar aquests gràfics. Més tard, un dels pares de l'animació per ordinador, John Whitney (recordeu les espirals dels títols de Vértigo?) també va servir-se de punts, línies i polígons per a les seves creacions: 

Ensenyament de la geometria per la visió

"Damunt de la taula té un paraboloide hiperbòlic fet amb quatre llistons i fils vermells. Per demostrar pràcticament les seves propietats fa entrar el sol a l'habitació on som aixecant part de la coberta, que funciona amb contrapesos. Ens ensenya les projeccions del paraboloide hiperbòlic per mitjà de l'ombra que fa damunt d'una taula que, segons la posició, dóna línies radials o paral·leles. Gaudí creu que aquesta superfície és la síntesi de tota la Geometria, puix diu que tot surt del paraboloide hiperbòlic.

Pregunta: ¿no fóra bonica una Geometria explicada així? Pondera aquest procediment de fer les coses veient-les i diu que d'aquesta manera no s'obliden més, i hom les sap del cert. És la millor demostració; quan un ha vist una cosa, diu: "Sí, és cert, jo ho he vist". Quan en Matemàtiques queda demostrat quelcom, es diu que "és evident". L'"evidència" és als ulls de l'esperit el que la visió és als ulls del cos.

Tot seguit fa veure les interseccions d'un pla amb l'hiperboloide de revolució per un mitjà enginyós i senzill. Consisteix en una fusta planaque té una ranura recta i deixa passar els raigs de sol, que segueixen una superfície plana; si en aquesta hi és interposat l'hiperboloide construït amb fils (generatrius) subjectes a dos cercles de filferro (directrius), es veuen clarament les interseccions que s'obtenen segons les posicions de l'hiperboloide."

Extracte de: MARTINELL, Cèsar - "Gaudí i la Sagrada Família comentada per ell mateix"

Primer aniversari MMACA

El proper diumenge 1 de febrer, el Museu de Matemàtiques de Catalunya celebra el primer aniversari de l'exposició "Experiències Matemàtiques" al Palau Mercader de Cornellà.
Si encara no coneixeu el Museu, serà una bona ocasió per a apropar-vos a unes matemàtiques aptes per a tots els públics: no només per a nens, sinó també per a "entesos en la matèria".


Més informació a la web http://www.mmaca.cat

Geometria i creativitat al Festival de la Infància de Barcelona

Durant aquestes festes de Nadal, al beeslab hem estat convidats a participar en la 51a edició del Festival de la Infància de Barcelona. Tot un clàssic per als nens i nenes barcelonins quan arriben aquestes dates. El nostre espai al Palau nº1 de la Fira de Barcelona va rebre centenars de famílies interessades per unes activitats diferents a les acostumades, combinant la geometria, la construcció i la creativitat.



Va ser una petita mostra, adaptada al ritme i les condicions del lloc, de les sessions que realitzem al beeslab. Els nostres programes d'educació visual (blocs de fusta / matemàtiques visuals / arquitectura) estan basats en una metodologia altament manipulativa (learning-by-doing) i utilitzem només els millors materials. En aquesta ocasió vam organitzar els tallers al voltant dels blocs de fusta, ITSPHUN i Modulmax.

Els blocs de fusta, indicats a partir dels 2 anys, no tenen peces complicades que calgui aprendre a encaixar. Es pot construir immediatament, únicament tenint en compte la força de la gravetat. Tot i això, la complexitat de les estructures augmenta a mesura que es domina la tècnica: de la simple repetició i apilament, fins al joc simbòlic planificat per endavant.




ITSPHUN és un sistema realment fantàstic. I, alhora, absolutament simple. Només cal encaixar les llengüetes de triangles, quadrats, pentàgons o hexàgons per a obtenir figures tridimensionals de colors molt vius. Durant aquests dies hem construït cubs, tetraedres, dodecaedres... icosaedres escapçats i tota mena de formes inventades.


Ens agrada el Modulmax. En especial, el fet que sigui una única peça la que es combina de tantes maneres. Tot comença amb la peça, i la imaginació és l´únic límit.que hi ha.

Hem vist files llarguíssimes, lletres i números, cubs, avions, submarins, motos i una roda de fira. Però, el que és més important, hem vist la perserverança quan el muntatge es complicava, la concentració per a encaixar dues peces sense fer excessiva força, la satisfacció en acabar la figura i mostrar-la orgullosos!



Matemàtiques experimentals

En més d'una ocasió he comentat que les matemàtiques van molt més enllà dels números i les operacions aritmètiques: moltes vegades les matemàtiques es poden tocar!

L'experimentació directa de les matemàtiques és un dels punts fonamentals de l'ensenyament a les classes del beeslab. Ens agrada treballar amb materials reals, concrets, especialment amb els més petits, en els que el raonament abstracte encara no està del tot desenvolupat.

És molt reconfortant veure com aquesta metodologia va adquirint reconeixement arreu del món: la web Experiencing Mathematics, publicada per la UNESCO (l'organització educativa, científica i cultural de les Nacions Unides) acaba de ser traduïda al català.

Podeu visitar-la aquí:  http://www.experiencingmaths.org

És una exposició virtual adreçada al professorat de matemàtiques, als alumnes d'educació secundària i, en general a totes aquelles persones interessades en les matemàtiques i les ciències. Mostra més de 200 situacions matemàtiques que ens proposen experimentar, temptejar, fer hipòtesis, provarles, intentar validarles, provar de demostrar i debatre sobre propietats matemàtiques.



El sumari de temes en què s'organitza inclou: Llegir la natura, Enrajolar el terra, Omplir l’espai, Conectar-se, Calcular, Construir, Estimar–Preveure, Optimitzar, Demostrar i Concloure.

La pàgina ofereix l’oportunitat a tots aquells que no tinguin accés a ordinador o Internet la possibilitat
d’imprimir o fer imprimir les activitats.

Les dimensions a Zometool: De 0D a 3D... i 4D!

Zometool és una eina fantàstica per a l'ensenyament experimental i manipulatiu de la geometria. Entre moltes altres aplicacions, ens permet representar físicament conceptes abstractes relacionats amb les dimensions (des de 0D fins a 3D... o fins-i-tot 4D!).

Com ja hem vist en anteriors entrades, el sistema Zome està basat en el node, que coneixem com a bola o que, si pensem en models matemàtics ideals, podríem anomenar punt.

El punt és una entitat de 0 dimensions. No té amplada, llargada, altura, ni cap altra característica dimensional. És un dels conceptes més elementals de la geometria.








Estirant aquest punt, obtenim una línia recta (o un segment de recta en aquest cas). La recta és un element de dimensió 1 (1D) ja que únicament té longitud.

Anàlogament, si estirem la línia perpendicularment a la seva llargada, obtenim una figura en 2 dimensions (llargada i amplada) en aquest cas, un quadrat (2D).












Finalment, i seguint la mateixa lògica, si estirem el quadrat perpendicularment a la seva llargada i amplada, el resultat és una figura tridimensional que té llargada, amplada i altura (3D) com el cub de la imatge.









Com seria una figura en 4D? El nostre món només admet les representacions fins a dimensió 3, però la imaginació sempre ens permet anar més enllà. Podem provar a seguir el mateix procediment que hem utilitzat per a saltar de 0D a 1D, 2D i 3D: estirar la figura perpendicularment a la seva dimensió. Així, l'aspecte que tindria un cub en 4D (o hipercub) seria el resultat d'estirar un cub perpendicularment i simultàniament a la seva llargada, amplada i altura. Efectivament, això no és gaire intuïtiu.

Una altra manera d'aproximar-nos a la 4a dimensió podria ser utilitzant les ombres o projeccions. Mirant la fotografia del cub veiem que aquest projecta una ombra sobre el pla. Aquesta ombra d'un objecte 3D és un objecte 2D (de fet, la pròpia fotografia també és un objecte 2D!). Anàlogament, si tenim físicament el cub a les nostres mans, podríem pensar que es tracta d'una ombra 3D d'un objecte 4D que som incapaços de veure...

Aquest tema és l'argument d'un clàssic de la literatura matemàtica, escrit en forma de relat breu: Planilàndia (Flatland), d'Edwin A. Abbott. En menys de 100 pàgines ens explica com és de sorprenent per als habitants de Planilàndia l'arribada d'un visitant de la 3a dimensió: una esfera. El podeu trobar a la biblioteca del beeslab.

¿Extraescolars de matemàtiques? ¡Atreveix-te a pensar!

A les primeres classes de dibuix de l'Escola d'Arquitectura, alguns alumnes s'esforçaven en aconseguir la perfecció en els detalls més minúsculs, gairebé com si es tractés d'una obra d'artesania. Però moltes vegades l'encaix general del dibuix no era el més apropiat o la perspectiva estava mal construïda. El professor ens deia que "per a reproduir tots els detalls, és molt més pràctic fer una foto: el resultat serà infinítament millor, i no hi perdrem la vista ni el temps". El que importa en un dibuix, és precisament el que el distingeix d'un simple intent de reproducció mecànica de la realitat: la comprensió geomètrica del que s'està traçant sobre el paper i la decisió conscient dels elements que ens interessa hi apareguin.

Exactament igual com el que diferencia una fotografia qualsevol d'una bona fotografia: el procés mental.

Aplicant-ho a l'ensenyament de les matemàtiques, podem afirmar que dedicar-se a fer operacions aritmètiques serveix per a guanyar agilitat numèrica... però sempre hi haurà una calculadora capaç de resoldre l'operació amb més rapidesa i de forma més fiable. De moment, el que no pot fer una màquina és pensar. I aquí és on cal dirigir els nostres esforços si volem ésser capaços d'enfrontar-nos a situacions noves i tenir alguna possibilitat d'èxit.


Pensar fa gairebé tanta mandra com anar al gimnàs... al principi. Una vegada activats els mecanismes en el nostre cervell, les coses ja no es veuen de la mateixa manera. No hi ha temps a perdre: a les classes d'ampliació i reforç de beeslab ens hi posem des de ben petits!

Naturalment, un pot decidir quedar-se tirat al sofà. Però cal atenir-se a les conseqüències.